Calcolo Letterale

PRODOTTI NOTEVOLI

Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
è la differenza fra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo monomio ( A + B ) x ( A - B ) = A
² - AB + AB - B²

(2a+3b)(2a-3b) =
2a·2a = 4a²
2a·(-3b) = -6ab
3b·2a = 6ab
3b·(-3b) = -9b²
e siccome 6ab-6ab si annullano otterremo
= 4a² - 9b²

(2x+4y)(2x-4y) =
2x·2x = 4x²
2x·(-4y) = -8xy
4y·2x = 8xy
4y·(-4y) = -16y²
e siccome 8xy-8xy si annullano otterremo
= 4x² - 16y²

Quindi se devo fare

(3x+4y)(3x-4y) =
farò
3x·3x = 9x²
4y·(-4y) = -16y²
e scriverò
= 9x² -16y²
cioè la somma di due monomi per la loro differenza e' uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio


2. Quadrato di un binomio

è uguale al quadrato del primo monomio piu' il doppio del prodotto del primo per il secondo piu' il quadrato del secondo


(2a+3b)·(2a+3b)
2a·2a = 4a²
2a·3b=6ab
3b·2a=6ab
3b·3b=9b²
quindi
4a²+6ab+6ab+9b ²
osserviamo che i due monomi interni sono uguali e (contrariamente a prima) con lo stesso segno quindi li debbo sommare ed ottengo
4a²+12ab+9b ²
Quindi io posso moltiplicare il primo termine con il primo, poi il primo per il secondo e, siccome mi verrebbero due termini uguali, senza sommarli dopo faccio subito il risultato moltiplicando per 2, infine il secondo termine per il secondo

(2x+4y)²=(2x+4y)(2x+4y)
2x·2x = 4x²
2x·4y=8xy
4y·2x=8xy
4y·4y=16y²
quindi 4x²+16xy+16y²
e siccome 8xy+8xy sono uguali e si sommano otterremo
4x²+16xy+16y²

ora se ti dico di calcolare

(4a+3b)²
dovrai moltiplicare il primo monomio per sé stesso 4a·4a = 16a ²
poi dovrai moltiplicare il primo monomio per il secondo e questo dovrai farlo due volte (cioe' basta moltiplicare per 2) perché hai visto che vengono sempre due termini uguali che poi si sommano
quindi 4a·3b·2=24ab
poi dovrai moltiplicare il secondo monomio per sé stesso
cioe' 3b·3b=9b²
quindi
16a²+24ab+9b²

Ora leggiamo la regola considerando i monomi più semplici possibili
(a+b)²=a²+2ab+b ²


3. Cubo di un binomio


Il cubo di un binomio e' uguale al cubo del primo monomio più il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo
(a+b)³ =a³ +3a² b+3ab² +b³


Ora vediamo su alcuni esempi come applicare questa regola:
ad esempio supponiamo di dover eseguire
(2x+3y)³
al posto di a ho 2x ed al posto di b ho 3y quindi nella regola quando ho il primo monomio metto 2x e quando ho il secondo metto 3y
facciamolo assieme:
Il cubo di un binomio (2x+3y)³
e' uguale =
al cubo del primo monomio (2x)³
più il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo +3·(2x)² ·(3y)
più il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo +3·(2x)·(3y)²
più il cubo del secondo +(3y)³
(2x+3y)³= (2x)³ +3·(2x)² ·(3y)+3·(2x)·(3y)² +(3y)³=
=8x³ +36x²y +54xy² +27y³
Vediamo ora come comportarci se invece che la somma abbiamo la differenza fra 2 monomi
Lavoriamo su un esempio
(3x-2y)³=
Basterà considerare il segno meno non come operazione fra i due monomi ma come
segno appartenente al secondo monomio
[3x+(-2y)]³=
allora il primo monomio e' 3x ed il secondo e' -2y
Quindi avremo
(3x)³ +3·(3x)² ·(-2y)+3·(3x)·(-2y)² +(-2y)³=
=27x³ -54x²y +36xy² -8y³